具有轴对称平面的梁，当横向荷载作用于同一平面内时，梁也就在此平面内弯曲，这种弯曲形式被称为 对称弯曲；如果荷载作用不在对称平面内，将会发生非对称弯曲现象，这种弯曲形式被称为 斜弯曲；倘若梁截面本身就不对称，将会产生另一种非对称弯曲现象，如果忽视了这种非对称弯曲的影响，则结构分析的结果可能对弯曲应力水平估计不足，必须引起设计人员的重视。本文将对这种弯曲形式进行讨论。

构件广义弯曲截面正应力的推导

如下图所示：一具有任意横截面的构件，形心为 $o$ ， $o\,\text{--}\,xy$ 为过形心的一组任意直角坐标系，设沿 $ox$ 、 $oy$ 分别有弯矩 $M_x$ 、 $M_y$ 作用，符合右手螺旋定则。

现假设截面中性轴为 $oo'$ ，截面上任意一点微面积 $\mathrm{d}F$ 的坐标为 $x$ 、 $y$ ，它到中性轴的距离为 $\xi$ ，则：

\xi= y\cos\alpha - x\sin\alpha

根据平截面假定，该点处的正应变为：

\varepsilon_z = \frac{1}{\rho} \xi

式中： $\rho$ 为中性层的曲率半径； $\alpha$ 为中性轴与 $x$ 轴的夹角。因此正应力为：

\sigma_z = E \frac{\xi}{\rho} = \frac{Ey}{\rho}\cos\alpha -\frac{Ex}{\rho}\sin\alpha

因为沿平面法向无外力作用，故

\int_F \sigma_z \,\mathrm{d}F =0

即

\int_F \xi \,\mathrm{d}F =0

由绕 $x$ 、 $y$ 轴的力矩平衡方程，可以得到：

\left\{ \begin{aligned} M_x =& \int_F \sigma_z y\,\mathrm{d}F = \int_F \frac{Ey^2}{\rho}\cos\alpha\,\mathrm{d}F - \int_F \frac{Exy}{\rho}\sin\alpha\,\mathrm{d}F\\ =& \frac{E\cos\alpha}{\rho}I_x -\frac{E\sin\alpha}{\rho}I_{xy}\phantom{\Bigg|}\\ M_y =& -\int_F \sigma_z x\,\mathrm{d}F = \frac{E\sin\alpha}{\rho}I_y -\frac{E\cos\alpha}{\rho}I_{xy} \end{aligned} \right.

式中， $I_x$ 、 $I_y$ 为两个形心轴的惯性矩， $I_{xy}$ 为惯性积。

由上式解出 $\dfrac{E\sin\alpha}{\rho}$ 与 $\dfrac{E\cos \alpha}{\rho}$ ，代入正应力表达式，则有：

\sigma_z = \frac{\bar{M}_x}{I_x}y-\frac{\bar{M}_y}{I_y}x

式中。 $\bar{M}_x$ 、 $\bar{M}_y$ 称为 有效弯矩，分别为：

\left\{\begin{aligned} \bar{M}_x & =\frac{M_x+M_yI_{xy}/I_y}{1-I^2_{xy}/(I_xI_y)} \\ \bar{M}_y & =\frac{M_y+M_xI_{xy}/I_x}{1-I^2_{xy}/(I_xI_y)} \end{aligned}\right.

上式的推导过程中，只利用了几何方程、物理方程和平衡方程，因而与杆件截面的几何形状和尺寸无关，故以上结果适用于任意截面。这个公式可用于计算任意梁中的弯曲应力，即 广义弯曲应力计算公式， $x$ 、 $y$ 轴仅需要为一对相互垂直的轴，不必一定是主轴。

简化问题，令 $M_y=0$ ，即仅考虑单方向弯矩问题，则截面正应力为：

\begin{aligned} \sigma_z = & \frac{\bar{M}_x}{I_x}y-\frac{\bar{M}_y}{I_y}x \\ = & \frac{M_xI_y}{I_xI_y-I_{xy}^2}y- \frac{M_xI_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}x = \frac{M_x(I_yy-I_{xy}x)}{I_xI_y-I_{xy}^2} \end{aligned}

同理，当 $M_x=0$ 时，截面正应力为：

\sigma_z = \frac{M_y(-I_xx+I_{xy}y)}{I_xI_y-I_{xy}^2}

进一步简化问题，假定 $x$ 、 $y$ 轴均为截面的主轴，则有： $I_{xy}=0$ ，单方向弯矩作用下（ $M_y=0$ ）的截面应力即为：

\sigma_z=\frac{M_x}{I_x}y

该式即为通常使用的截面正应力的计算公式。

很明显，在进行构件弯曲应力计算的时候，我们需要确定形心主轴位置，然后将弯矩分解成这些主轴的分量再进行应力计算。然而有一些情况下，截面中非主轴的截面特性和荷载作用更容易计算获取，则截面应力应按 广义弯曲应力计算公式 进行计算。如果忽略了非对称弯曲的影响，仍使用通常的截面正应力计算公式，则将对计算结果产生较大的影响。

为了简化对比分析，我们仍然考虑单方向弯矩问题。对比两式，分别记截面正应力为 $\sigma_z$ 与 $\sigma'_z$ ，即：

\begin{aligned} \sigma_z=& \frac{M_x}{I_x-I_{xy}^2/I_y}y- \frac{M_xI_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}x\\ \sigma'_z=& \frac{M_x}{I_x}y \end{aligned}

显然，截面应力总存在 $- \dfrac{M_xI_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}x >0$ 的最值点，若采用了 $\sigma'_z$ 的计算公式，则总有应力最值点满足：

\sigma'_z < \frac{M_x}{I_x-I_{xy}^2/I_y}y < \sigma_z

因此，忽略非对称弯曲的影响将低估截面正应力水平。

算例对比

薄壁杆件手算示例

求解下图所示 Z 形截面薄壁杆件在弯矩 $M_x$ 作用下的 2 点的正应力。

【解答】

截面几何特性：此截面为反对称截面，形心在腹板中心 $O$ 点。
$\begin{aligned} I_x &= 2\times \frac{\delta h}{2} \times \left(\frac{h}{2}\right)^2+\frac{\delta h^3}{12} = \frac{1}{3}\delta h^3\\ I_y &= 2\times \frac{\delta}{3} \times \left(\frac{h}{2}\right)^3 = \frac{1}{12}\delta h^3 \\ I_{xy} &=\frac{\delta h}{2} \times \left(-\frac{h}{4}\right) \times \frac{h}{2} + \frac{\delta h}{2} \times \frac{h}{4} \times\left(-\frac{h}{2}\right) =-\frac{1}{8}\delta h^3 \end{aligned}$
应力计算
$\begin{aligned} \sigma_z = & \frac{M_x(I_yy-I_{xy}x)}{I_xI_y-I_{xy}^2}\\ = & \frac{M_x\left(\dfrac{1}{12} y + \dfrac{1}{8} x\right)}{\left(\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{64}\right)\delta h^3}=\frac{M_x}{\delta h^3}\left(\frac{48}{7}y+\frac{72}{7}x\right)=\frac{M_x}{\delta h^3}\times\frac{48}{7}\times\frac{h}{2}\approx \frac{3.43M_x}{\delta h^2} \end{aligned}$
忽略非对称弯曲影响的应力计算
略去非对称弯曲影响，正应力为：